Over dobbelstenen en kansberekeningen.

[Oud-forumlid]

Goochelen met statistiek

Daarmee wordt een belangrijk argument van de mensen die menen dat de komende winter ´dus´ een zachte wordt, weggenomen. Ze redeneren ongeveer als volgt: ‘we hebben vijf keer met een zuivere dobbelsteen gegooid en dat leverde iedere keer een ‘zes’ op. De kans om zes maal een ‘zes’ achter elkaar te gooien is zó klein, dat er nu wel een ander getal uit de bus zal komen.’ Deze gedachtegang wordt mede gevoed door het feit dat het sinds 1901 nog nooit is voorgekomen dat zes winters op rij een Hellmanngetal van 40 punten of meer opleverden in De Bilt.

Om meerdere redenen is deze redenering fout. Om met die dobbelsteen te beginnen, er is een kans van 1/6 dat je een zes gooit. De kans om zes zessen op rij te gooien is inderdaad erg klein; 1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6=1/46.656.


Maar… dat is vóórdat we hebben gegooid. Inmiddels hébben we al vijf keer gegooid en dat leverde iedere keer een ‘zes’ op. De dobbelsteen heeft geen geheugen en zo is de kans dat we bij de volgende worp opnieuw een ‘zes’ gooien, gewoon weer 1/6; een even grote kans dus als de vijf worpen hiervoor in plaats van vijf ‘zessen’, bijvoorbeeld 2-4-6-1-3-3, of ieder ander willekeurig resultaat hadden opgeleverd.


Met opeenvolgende winters is min of meer hetzelfde aan de hand. We kunnen niet zeggen dat het weer helemaal geen geheugen heeft, maar het is niet zo dat de komende winter koud wordt, omdat de vorige zacht was, of andersom. De kans dat de komende winter qua vorstproductie minimaal ‘normaal’ wordt, is niet kleiner geworden omdat de vijf afgelopen winters ‘normaal’ of ‘aan de koude kant’ waren.

Langere reeks ‘normale’ tot ‘vrij koude’ winters?

Maar toch, zullen deze mensen zeggen, sinds 1901 is het niet voorgekomen dat er een langere reeks was van vijf winters, zonder dat eentje daarvan zacht was, met een Hellmanngetal van lager dan 40. Dat klopt. We hebben nu een reeks van vijf van zulke winters gehad, en van 1962 tot en met 1966, hadden we er ook vijf winters op rij gehad die niet ‘zacht’ waren. Zes of méér op rij is dus sinds 1901 inderdaad niet voorgekomen.


Echter, sinds 1901 waren 52 winters (46%) kouder dan de winter uit 2009 (de zachtste uit het huidige rijtje van vijf) en 30 winters (27%) waren nog kouder dan de koudste (die uit 2010) uit dit rijtje. In totaal 67 van de 113 winters (59%; een duidelijke meerderheid) leverden minimaal 40 Hellmannpunten op.


Met andere woorden, om de vergelijking met die dobbelsteen weer te trekken, we hoeven dus niet alleen een ‘zes’ te gooien, maar een ‘vijf’ of een ‘vier’ is ook toegestaan. We ronden dan al fors naar beneden af, want we komen dan op 50% uit en niet op 59%. Met die 59% is het simpel uitrekenen dat er een kans is van 2% dat zes winters op rij 40 Hellmannpunten of meer opleveren. Een kleine kans, maar toch een kans van één op vijftig. In een reeks van 113 jaren zou dat, gegeven deze kans, wel eens een keer moeten zijn voorgekomen. Niet dus, en ook dan leert ons de nuchtere statistiek dat dit niet bijzonder is. De kans is het grootst dat deze gebeurtenis in 113 jaar twéé maal optreedt, gevolgd door één maal, drie maal en nul maal, maar die laatste twee kansen ontlopen elkaar maar weinig. Het is dus puur toevallig en zeker nog niet uitzonderlijk dat in de afgelopen 113 jaar niet één maal een reeksje van zes ‘normale’ tot koude winters op rij is voorgekomen.

Langer geleden…

Dat kunnen we ook zien als we de winters van vóór 1901 gaan bekijken. Uiteraard moeten we de Hellmanngetallen uit die winters wat globaler bezien, maar we zien meteen ook de willekeur van het zetten van een punt bij 1901. Alle winters van 1899 tot en met 1904 namelijk (zes op rij) hadden een Hellmanngetal van méér dan 40 punten. Kort daarvoor hadden we van 1885 tot en met 1895 zelfs elf winters op rij, waarvan er niet één volgens de huidige maatstaven zacht verliep! Kijken we verder terug, dan vinden we regelmatig reeksen van zes of meer winters op rij, waarvan er niet eentje zacht verliep.


Zoals bekend, was het klimaat in de 18e en de 19e eeuw kouder dan tegenwoordig, en daarmee was toen de kans op een zachte winter kleiner. We zien dan ook een aantal flinke reeksen van ‘normale’ tot koude winters, zonder dat deze door een zachte werden onderbroken. Acht keer was deze reeks acht jaar of langer, drie maal zelfs tien jaar of langer. De langste reeks duurde vijftien jaar, van 1709 tot en met 1723. De twee koudste winters uit die reeks waren 1709 met 314 en 1716 met 288 Hellmannpunten en in totaal tien van die winters kwamen destijds tussen 60 en 90 Hellmannpunten uit.


Kortom; de moraal van dit verhaal: we zouden best nu wel eens een reeks van zes ‘niet zachte’ winters op rij kunnen meemaken. En mocht de winter van 2013-2014 tóch ‘zacht’ verlopen, dan ligt de oorzaak hiervan in ieder geval niét in het verloop van de vijf winters hiervoor.



Bron MC

[Dick]

(grapje) Natuurlijk heb je gelijk: het weer heeft geen geheugen en de kans dat je een zes gooit met een zuivere dobbelsteen is 1/6, ongeacht wat je daarvoor heb gegooid. Toch is het pad van de statistiek wel glibberig en kun je makkelijk ernaast in het moeras verzinken. Het hangt er sterk vanaf hoe je de vragen formuleert. Met dezelfde gegevens kun je soms volkomen tegengestelde beweringen bewijzen.
En dat maakt het heel ingewikkeld: stel je wilt weten hoe groot de kans is op een Elfstedentocht, of een witte Kerst. Op voorhand kun je al stellen: wel of niet, kortom fifty-fifty. In zijn eenvoud geen speld tussen te krijgen, maar het slaat feitelijk nergens op. Beter is om te kijken hoe vaak, zeg sinds 1901, een witte Kerst / Elfstedentocht is voorgekomen en vandaaruit een gemiddelde in je kansberekening meenemen. Dat is in elk geval gedegen statistiek. Bij rijtjes wordt het een stuk lastiger. Stel je wilt weten hoe groot de kans is op driemaal een witte Kerst op rij. Stel dat we in honderd jaar tien maal een witte Kerst hebben beleefd, dan is de kans op EEN witte kerst dus 10%. de kans op een rijtje van drie is dan 1/10 x 1/10 x 1/10 = 1/1000; een promille dus. Blijft staan dat de kans, puur statistisch, op een 'losse" witte Kerst 10% is en blijft, ongeacht of het jaar ervoor de Kerst groen of wit verliep. Welke uitkomst klopt nu!?
Nou doen weergoden niet aan statistiek. Kortom de kans op een witte kerst varieert van jaar tot jaar. Op grond van de modellen kun je naarmate de 25e december dichterbij komt steeds nauwkeurige verwachtingen opstellen. En dan kan op het laatst toch een onverwachte ontwikkeling roet in het eten gooien. Er blijft een gok-element inzitten. En dan is kansbereking bij al of niet een witte Kerst nog relatief simpel. Bij de kans op een Elfstedentocht is dat veel ingewikkelder. Er spelen allerlei meteorologische factoren een rol: temperatuur, sneeuw(val), wind. Deze bepalen mede de ijsaangroei. Zonnestraling kan ook van belang zijn, zeker later in het seizoen. Waterstanden, stromingen onder het ijs, kwaliteit van het ijs zijn ook belangrijk. Zefs de sfeer bij het Elfstedenbestuur en het humeur van de voorzitter zouden bij wijze van spreken kunnen meespelen. Probeer dat allemaal maar in een kansberekening te gieten.

[Richard]

Probeer dat allemaal maar in een kansberekening te gieten.

Oan te gieten ? ;-)

[Oud-forumlid]

???

[Dick]

Probeer dat allemaal maar in een kansberekening te gieten.

Oan te gieten ? ;-)

@ John: woordspeling: " It giet oan", uitspraak van de voorzitter ir. Croes, Elfstedentocht van 1997; in 1985 (en ' 86 ?) was het motto van zijn voorganger Sipkema: " It sil heve"

[Oud-forumlid]

Ok nou we zien het wel ;)

[Hans]

Zoals Dick hierboven al zei, kun je 2 tegengestelde beweringen "statistisch" bewijzen. Iedereen die wel eens een lesje statistiek heeft gehad, weet dat in les 1 wordt gezegd: "Er zijn kleine leugens, grote leugens en het ergst is statistiek". Ook kreten als "De statistieken zeggen..." zijn een drogredenering, simpel wegens het feit dat statistieken niet kunnen praten... Het gaat in het geval van wel of geen witte kerst of elfstedentocht m.i. niet over onafhankelijke kansen, maar is de voorgeschiedenis bepalend, dus voorwaardelijke kansen. Indien het tot vlak voor de gehoopte optredende gebeurtenis flink ongewenst weer is, hangt de gewenste gebeurtenis dus aan een heel dun draadje. Het verhaal van de (al dan niet zuivere) dobbelstenen gaat dan mank...